Die Höchste Zahl Der Welt

Bei der Beantwortung einer so schwierigen Frage, was ist das, dice größte Zahl der Welt, sollte zunächst darauf hingewiesen werden, dass es heute zwei akzeptierte Arten gibt, Zahlen zu benennen - Englisch und Amerikanisch. Nach dem englischen System werden an jede große Zahl der Reihe nach die Suffixe -billion oder -million angehängt, wodurch sich dice Zahlen one thousand thousand, billard, trillion, trilliard usw. ergeben. Wenn wir vom amerikanischen System ausgehen, dann muss jeder großen Zahl das Suffix -million hinzugefügt werden, wodurch dice Zahlen Billion, Quadrillion und Big gebildet werden. An dieser Stelle sei auch darauf hingewiesen, dass das englische Zahlensystem in der modernen Welt gebräuchlicher ist und die darin verfügbaren Zahlen für das normale Funktionieren aller Systeme unserer Welt völlig ausreichend sind.

Natürlich kann die Antwort auf dice Frage nach der größten Zahl aus logischer Sicht nicht eindeutig sein, denn human being muss nur zu jeder weiteren Ziffer eins addieren, dann erhält man eine neue größere Zahl, also hat dieser Vorgang keine Grenzen. Seltsamerweise existiert jedoch immer noch die größte Anzahl der Welt und sie ist im Guinness-Buch der Rekorde aufgeführt.

Grahams Zahl ist die größte Zahl der Welt

Diese Zahl wird weltweit als die größte im Buch der Rekorde anerkannt, obwohl es sehr schwierig ist zu erklären, was es ist und wie groß es ist. Im Allgemeinen sind dies Drillinge, die untereinander multipliziert werden, was eine Zahl ergibt, dice 64 Größenordnungen höher ist als der Verständnispunkt jeder Person. Daher können wir nur dice letzten 50 Stellen der Graham-Zahl angeben – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Googol-Nummer

Die Geschichte dieser Nummer ist nicht so kompliziert wie die obige. So konnte ein Mathematiker aus Amerika, Edward Kasner, der mit seinen Neffen über große Zahlen sprach, dice Frage nicht beantworten, wie man Zahlen nennt, die 100 Nullen oder mehr haben. Ein findiger Neffe bot solchen Zahlen seinen Namen an - googol. Es sollte beachtet werden, dass diese Zahl keine große praktische Bedeutung hat, sie wird jedoch manchmal in der Mathematik verwendet, um die Unendlichkeit auszudrücken.

Googleplex

Auch diese Zahl wurde von dem Mathematiker Edward Kasner und seinem Neffen Milton Sirotta erfunden. Im Allgemeinen ist es eine Zahl zur zehnten Potenz eines Googols. Um die Frage vieler Neugieriger zu beantworten, wie viele Nullen im Googleplex sind, ist anzumerken, dass diese Zahl in der klassischen Version nicht dargestellt werden kann, selbst wenn das gesamte Papier der Welt mit klassischen Nullen bedeckt ist.

Skews-Nummer

Ein weiterer Anwärter auf den Titel der größten Zahl ist dice Skewes-Zahl, dice 1914 von John Littwood bewiesen wurde. Nach den vorgelegten Beweisen beträgt diese Zahl ungefähr 8.185 10370.

Moser-Zahl

Diese Methode zur Benennung sehr großer Zahlen wurde von Hugo Steinhaus erfunden, der vorschlug, sie durch Polygone zu bezeichnen. Als Ergebnis von drei durchgeführten mathematischen Operationen wird dice Zahl 2 in einem Megagon (einem Vieleck mit Megaseiten) geboren.

Wie Sie bereits sehen können, haben sich eine riesige Anzahl von Mathematikern bemüht, es zu finden – dice größte Zahl der Welt. Wie erfolgreich diese Versuche waren, können wir natürlich nicht beurteilen, es sei jedoch darauf hingewiesen, dass die tatsächliche Anwendbarkeit solcher Zahlen zweifelhaft ist, da sie nicht einmal dem menschlichen Verständnis zugänglich sind. Außerdem wird es immer eine Zahl geben, die größer wird, wenn Sie eine sehr einfache mathematische Operation +1 ausführen.

Es gibt Zahlen, die and so unglaublich, unglaublich groß sind, dass das gesamte Universum bräuchte, um sie aufzuschreiben. Aber hier ist, was wirklich verrückt macht ... einige dieser unfassbar großen Zahlen sind extrem wichtig, um die Welt zu verstehen.

Wenn ich „die größte Zahl im Universum" sage, meine ich wirklich die größte von Bedeutung Zahl, die maximal mögliche Zahl, die in irgendeiner Weise nützlich ist. Es gibt viele Anwärter auf diesen Titel, aber ich warne Sie gleich: Es besteht in der Tat dice Gefahr, dass der Versuch, all dies zu verstehen, Sie umhauen wird. Und außerdem macht zu viel Mathe wenig Spaß.

Googol und Googolplex

Eduard Kasner

Wir könnten mit zwei beginnen, wahrscheinlich den größten Zahlen, von denen Sie jemals gehört haben, und dies sind tatsächlich die beiden größten Zahlen, die allgemein akzeptierte Definitionen in der englischen Sprache haben. (Es gibt eine ziemlich genaue Nomenklatur für beliebig große Zahlen, aber diese beiden Zahlen sind derzeit nicht in Wörterbüchern zu finden.) Google, seit es weltberühmt wurde (wenn auch mit Fehlern, beachten Sie, dass es sich tatsächlich um Googol handelt). die Form von Google, wurde 1920 geboren, um Kinder für große Zahlen zu interessieren.

Zu diesem Zweck nahm Edward Kasner (im Bild) seine beiden Neffen Milton und Edwin Sirott mit auf eine New Jersey Palisades Tour. Er lud sie ein, irgendwelche Ideen einzubringen, und dann schlug der neunjährige Milton „googol" vor. Woher er dieses Wort hatte, ist unbekannt, aber Kasner entschied das oder eine Zahl, bei der auf die Eins hundert Nullen folgen, wird fortan Googol genannt.

Aber der junge Milton hat hier nicht aufgehört, er hat sich eine noch größere Nummer ausgedacht, den Googolplex. Laut Milton ist es eine Zahl, die zuerst eine one und dann and then viele Nullen hat, wie Sie schreiben können, bevor Sie müde werden. Obwohl die Idee faszinierend ist, hielt Kasner eine formellere Definition für erforderlich. Wie er 1940 in seinem Buch „Mathematics and the Imagination" erklärte, lässt Miltons Definition die gefährliche Möglichkeit offen, dass der gelegentliche Possenreißer ein überlegener Mathematiker gegenüber Albert Einstein werden könnte, nur weil er mehr Ausdauer hat.

Also entschied Kasner, dass der Googolplex , oder 1 sein würde, gefolgt von einem Googol aus Nullen. Andernfalls und in einer Schreibweise ähnlich der, mit der wir uns mit anderen Zahlen befassen werden, werden wir sagen, dass der googolplex ist. Um zu zeigen, wie faszinierend das ist, bemerkte Carl Sagan einmal, dass es physikalisch unmöglich sei, alle Nullen eines Googolplex aufzuschreiben, weil es einfach nicht genug Platz im Universum gebe. Wenn das gesamte Volumen des beobachtbaren Universums mit etwa 1,five Mikrometer großen Feinstaubpartikeln gefüllt ist, entspricht dice Anzahl der verschiedenen Arten, in denen diese Partikel angeordnet werden können, ungefähr einem Googolplex.

Sprachlich gesehen sind googol und googolplex wahrscheinlich die beiden größten signifikanten Zahlen (zumindest im Englischen), aber wie wir jetzt feststellen werden, gibt es unendlich viele Möglichkeiten, „Bedeutung" zu definieren.

Echte Welt

Wenn wir über dice größte signifikante Zahl sprechen, gibt es ein vernünftiges Statement dafür, dass dies wirklich bedeutet, dass Sie die größte Zahl mit einem Wert finden müssen, der tatsächlich auf der Welt existiert. Wir können mit der aktuellen menschlichen Bevölkerung beginnen, die derzeit etwa 6920 Millionen beträgt. Das weltweite BIP im Jahr 2010 wurde auf rund 61.960 Milliarden US-Dollar geschätzt, aber beide Zahlen sind klein im Vergleich zu den rund 100 Billionen Zellen, aus denen der menschliche Körper besteht. Natürlich kann keine dieser Zahlen mit der Gesamtzahl der Teilchen im Universum verglichen werden, die normalerweise mit etwa angenommen wird, und diese Zahl ist so groß, dass unsere Sprache kein Wort dafür hat.

Wir können ein bisschen mit Messsystemen herumspielen, wodurch dice Zahlen immer größer werden. Somit ist dice Masse der Sonne in Tonnen geringer als in Pfund. Eine gute Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, die Planck-Einheiten zu verwenden, die die kleinsten möglichen Maße sind, für die dice Gesetze der Physik noch gelten. Zum Beispiel beträgt das Alter des Universums in Planck-Zeit etwa . Wenn wir zur ersten Planck-Zeiteinheit nach dem Urknall zurückgehen, sehen wir, dass dice Dichte des Universums damals state of war. Wir werden immer mehr, aber wir haben noch nicht einmal einen Googol erreicht.

Die größte Zahl mit einer Anwendung in der realen Welt – oder in diesem Fall einer Anwendung in der realen Welt – ist wahrscheinlich eine der neuesten Schätzungen der Anzahl der Universen im Multiversum. Diese Zahl ist then groß, dass das menschliche Gehirn all diese verschiedenen Universen buchstäblich nicht wahrnehmen kann, da das Gehirn nur zu groben Konfigurationen fähig ist. Tatsächlich ist diese Zahl wahrscheinlich die größte Zahl mit praktischer Bedeutung, wenn Sie die Idee des Multiversums als Ganzes nicht berücksichtigen. Dort lauern jedoch noch viel größere Zahlen. Aber um sie zu finden, müssen wir uns in das Reich der reinen Mathematik begeben, und es gibt keinen besseren Ausgangspunkt als Primzahlen.

Mersenne-Primzahlen

Ein Teil der Schwierigkeit besteht darin, eine gute Definition dessen zu finden, was eine „aussagekräftige" Zahl ist. Eine Möglichkeit besteht darin, in Begriffen von Primzahlen und Komposita zu denken. Eine Primzahl, wie Sie sich wahrscheinlich aus der Schulmathematik erinnern, ist jede natürliche Zahl (ungleich eins), die nur durch sich selbst teilbar ist. Also sind und Primzahlen und und zusammengesetzte Zahlen. Das bedeutet, dass jede zusammengesetzte Zahl schließlich durch ihre Primteiler dargestellt werden kann. In gewissem Sinne ist die Zahl wichtiger als, sagen wir, weil es keine Möglichkeit gibt, sie als Produkt kleinerer Zahlen auszudrücken.

Natürlich können wir noch ein bisschen weiter gehen. zum Beispiel ist eigentlich nur , was bedeutet, dass ein Mathematiker in einer hypothetischen Welt, in der unser Wissen über Zahlen auf begrenzt ist, immer noch ausdrücken kann. Aber die nächste Zahl ist bereits eine Primzahl, was bedeutet, dass die einzige Möglichkeit, sie auszudrücken, darin besteht, direkt von ihrer Existenz zu wissen. Das bedeutet, dass die größten bekannten Primzahlen eine wichtige Rolle spielen, aber beispielsweise ein Googol – das letztlich nur eine Ansammlung von Zahlen und miteinander multipliziert ist – eigentlich nicht. Und da Primzahlen größtenteils zufällig sind, gibt es keine bekannte Möglichkeit vorherzusagen, dass eine unglaublich große Zahl tatsächlich eine Primzahl sein wird. Bis heute ist die Entdeckung neuer Primzahlen eine schwierige Aufgabe.

Die Mathematiker des antiken Griechenlands hatten mindestens 500 v. Chr. ein Konzept von Primzahlen, und 2000 Jahre später wussten die Menschen nur bis etwa 750, was Primzahlen sind. Euklids Denker sahen die Möglichkeit einer Vereinfachung, aber bis die Mathematiker der Renaissance konnten t wirklich verwenden es in der praxis. Diese Zahlen sind als Mersenne-Zahlen bekannt und nach der französischen Wissenschaftlerin Marina Mersenne aus dem 17. Jahrhundert benannt. Dice Idee ist ganz einfach: Eine Mersenne-Zahl ist eine beliebige Zahl der Grade . Too zum Beispiel, und diese Zahl ist eine Primzahl, das gleiche aureate für .

Mersenne-Primzahlen sind viel schneller und einfacher zu bestimmen als jede andere Art von Primzahl, und Calculator haben in den letzten sechs Jahrzehnten hart daran gearbeitet, sie zu finden. Bis 1952 war die größte bekannte Primzahl eine Zahl – eine Zahl mit Ziffern. Im selben Jahr wurde auf einem Reckoner berechnet, dass die Zahl eine Primzahl ist, und diese Zahl besteht aus Ziffern, was sie bereits viel größer als einen Googol macht.

Seitdem sind Computer auf der Jagd, und die te Mersenne-Zahl ist derzeit die größte Primzahl, die der Menschheit bekannt ist. Sie wurde 2008 entdeckt und ist eine Zahl mit fast Millionen Ziffern. Dies ist die größte bekannte Zahl, dice nicht durch kleinere Zahlen ausgedrückt werden kann, und wenn Sie helfen möchten, eine noch größere Mersenne-Zahl zu finden, können Sie (und Ihr Figurer) jederzeit an der Suche unter http://www.mersenne teilnehmen. org/.

Skews-Nummer

Stanley Skuse

Kommen wir zurück zu den Primzahlen. Wie ich bereits sagte, verhalten sie sich grundlegend falsch, was bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, vorherzusagen, was dice nächste Primzahl sein wird. Mathematiker waren gezwungen, sich einigen ziemlich fantastischen Messungen zuzuwenden, um eine Möglichkeit zu finden, zukünftige Primzahlen vorherzusagen, selbst auf nebulöse Weise. Der erfolgreichste dieser Versuche ist wahrscheinlich die Primzahlfunktion, die Ende des xviii. Jahrhunderts von dem legendären Mathematiker Carl Friedrich Gauß erfunden wurde.

Ich erspare Ihnen die kompliziertere Mathematik – wir haben sowieso noch viel vor – aber dice Essenz der Funktion ist folgende: Für jede ganze Zahl ist es möglich abzuschätzen, wie viele Primzahlen es weniger als gibt. Zum Beispiel, wenn , sagt die Funktion voraus, dass es Primzahlen geben sollte, wenn - Primzahlen kleiner als , und wenn , dann gibt es kleinere Zahlen, dice Primzahlen sind.

Die Anordnung der Primzahlen ist tatsächlich unregelmäßig und nur eine Annäherung an die tatsächliche Anzahl der Primzahlen. Tatsächlich wissen wir, dass es Primzahlen kleiner als , Primzahlen kleiner als und Primzahlen kleiner als gibt. Es ist sicher eine tolle Schätzung, aber es ist immer nur eine Schätzung ... und genauer gesagt eine Schätzung von oben.

In allen bekannten Fällen bis übertreibt die Funktion, die die Anzahl der Primzahlen ermittelt, die tatsächliche Anzahl der Primzahlen geringfügig unter . Mathematiker dachten einst, dass dies immer der Fall sein würde, bis ins Unendliche, und dass dies sicherlich für einige unvorstellbar große Zahlen gold, aber 1914 bewies John Edensor Littlewood, dass diese Funktion für eine unbekannte, unvorstellbar große Zahl beginnt, weniger Primzahlen zu produzieren, und dann wird es unendlich often zwischen Überschätzung und Unterschätzung wechseln.

Die Jagd galt dem Startpunkt der Rennen, und dort tauchte Stanley Skuse auf (siehe Foto). 1933 bewies er, dass die obere Grenze, wenn eine Funktion, die sich der Anzahl der Primzahlen annähert, zum ersten Mal einen kleineren Wert ergibt, die Zahl ist. Es ist schwierig, selbst im abstraktesten Sinne wirklich zu verstehen, was diese Zahl wirklich ist, und aus dieser Sicht state of war es die größte Zahl, dice jemals in einem ernsthaften mathematischen Beweis verwendet wurde. Seitdem konnten Mathematiker die Obergrenze auf eine relativ kleine Zahl reduzieren, aber die ursprüngliche Zahl ist als Skewes-Zahl bekannt geblieben.

Also, wie groß ist die Zahl, die selbst den mächtigen Googolplex zum Zwerg macht? In The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers beschreibt David Wells eine Möglichkeit, wie der Mathematiker Hardy die Größe der Skewes-Zahl verstehen konnte:

„Hardy dachte, es sei ‚die größte Zahl, die je einem bestimmten Zweck in der Mathematik diente' und schlug vor, dass, wenn Schach mit allen Teilchen des Universums als Figuren gespielt würde, ein Zug darin bestehen würde, zwei Teilchen auszutauschen, und das Spiel würde aufhören, wenn dieselbe Stellung ein drittes Mal wiederholt, dann entspräche die Anzahl aller möglichen Partien etwa der Anzahl von Skuse''.

Eine letzte Sache, bevor wir fortfahren: Wir haben über die kleinere der beiden Skewes-Zahlen gesprochen. Es gibt noch eine weitere Skewes-Zahl, die der Mathematiker 1955 gefunden hat. Die erste Zahl wird mit der Begründung abgeleitet, dass die sogenannte Riemann-Hypothese wahr ist – eine besonders schwierige Hypothese in der Mathematik, die unbewiesen bleibt, sehr nützlich, wenn es um Primzahlen geht. Wenn die Riemann-Hypothese jedoch falsch ist, fand Skewes heraus, dass der Startpunkt für die Starthilfe auf steigt.

Das Größenproblem

Bevor wir zu einer Zahl kommen, die sogar die Zahl von Skewes winzig aussehen lässt, müssen wir ein wenig über die Größenordnung sprechen, da wir sonst keine Möglichkeit haben, abzuschätzen, wohin wir gehen. Nehmen wir zuerst eine Zahl – es ist eine winzige Zahl, and then klein, dass die Menschen tatsächlich ein intuitives Verständnis dafür haben können, was sie bedeutet. Es gibt nur sehr wenige Zahlen, dice auf diese Beschreibung passen, da Zahlen größer als sechs keine separaten Zahlen mehr sind und zu „mehreren", „vielen" usw. werden.

Nehmen wir nun , d.h. . Obwohl wir nicht wirklich intuitiv herausfinden können, wie wir es bei der Zahl getan haben, können wir uns vorstellen, was es ist, aber es ist sehr einfach. Bisher läuft alles gut. Aber was passiert, wenn wir gehen? Dies ist gleich , oder . Wir sind weit davon entfernt, uns diesen Wert wie jeden anderen sehr großen vorzustellen - wir verlieren die Fähigkeit, einzelne Teile irgendwo um eine Million herum zu verstehen. (Zugegeben, es würde wahnsinnig lange dauern, um tatsächlich bis zu einer One thousand thousand zu zählen, aber der Punkt ist, dass wir diese Zahl immer noch wahrnehmen können.)

Obwohl wir es uns nicht vorstellen können, sind wir zumindest in der Lage, allgemein zu verstehen, was 7600 Milliarden sind, vielleicht indem wir es mit etwas wie dem U.s.a.-BIP vergleichen. Wir haben uns von der Intuition über dice Repräsentation zum bloßen Verstehen bewegt, aber zumindest haben wir immer noch eine Lücke in unserem Verständnis dessen, was eine Zahl ist. Dies wird sich bald ändern, wenn wir die Leiter eine weitere Sprosse hinaufsteigen.

Dazu müssen wir auf die von Donald Knuth eingeführte Notation umschalten, die als Pfeilnotation bekannt ist. Diese Notationen können geschrieben werden als . Wenn wir dann zu gehen, ist die Zahl, dice wir erhalten, . Dies entspricht der Gesamtzahl der Drillinge. Wir haben jetzt alle anderen bereits erwähnten Zahlen bei weitem und wahrhaftig übertroffen. Schließlich hatten selbst die größten von ihnen nur drei oder vier Mitglieder in der Indexreihe. Selbst dice Superzahl von Skuse zum Beispiel ist „nur" – selbst wenn sowohl die Footing als auch die Exponenten viel größer als sind, ist sie immer noch absolut nichts im Vergleich zur Größe des Zahlenturms mit Milliarden Mitgliedern.

Offensichtlich gibt es keine Möglichkeit, solch riesige Zahlen zu verstehen ... und doch kann der Prozess, durch den sie erzeugt werden, immer noch verstanden werden. Wir konnten die wirkliche Zahl, die der Turm der Kräfte angibt, nicht verstehen, die eine Milliarde Dreier ist, aber wir können uns im Grunde einen solchen Turm mit vielen Mitgliedern vorstellen, und ein wirklich anständiger Supercomputer wird in der Lage sein, solche Türme im Speicher zu speichern, selbst wenn es so ist können ihre wahren Werte nicht berechnen.

Es wird immer abstrakter, aber es wird immer schlimmer. Sie könnten denken, dass ein Turm von Potenzen, dessen Exponentenlänge ist (tatsächlich habe ich in einer früheren Version dieses Beitrags genau diesen Fehler gemacht), aber es ist nur . Mit anderen Worten, stellen Sie sich vor, Sie könnten den genauen Wert eines Kraftturms aus Tripeln berechnen, der aus Elementen besteht, und dann nehmen Sie diesen Wert und erstellen einen neuen Turm mit so vielen darin wie ... was ergibt .

Wiederholen Sie diesen Vorgang mit jeder aufeinanderfolgenden Zahl ( Hinweis von rechts beginnend), bis Sie dies einmal tun, und schließlich erhalten Sie . Dies ist eine Zahl, dice einfach unglaublich groß ist, aber zumindest die Schritte, um sie zu bekommen, scheinen klar zu sein, wenn alles sehr langsam gemacht wird. Wir können Zahlen nicht mehr verstehen oder uns vorstellen, wie sie gewonnen werden, aber zumindest den grundlegenden Algorithmus können wir erst in ausreichend langer Zeit verstehen.

Lassen Sie uns jetzt den Geist darauf vorbereiten, ihn tatsächlich in die Luft zu jagen.

Grahams (Grahams) Nummer

Ronald Graham

So erhalten Sie dice Graham-Zahl, die im Guinness-Buch der Rekorde als die größte Zahl aureate, dice jemals in einem mathematischen Beweis verwendet wurde. Es ist absolut unmöglich, sich vorzustellen, wie groß es ist, und es ist ebenso schwierig, genau zu erklären, was es ist. Grundsätzlich kommt Grahams Zahl ins Spiel, wenn es um Hyperwürfel geht, bei denen es sich um theoretische geometrische Formen mit mehr als drei Dimensionen handelt. Der Mathematiker Ronald Graham (siehe Foto) wollte herausfinden, was die kleinste Anzahl von Dimensionen ist, dice bestimmte Eigenschaften eines Hyperwürfels stabil halten. (Entschuldigung für diese vage Erklärung, aber ich bin sicher, dass wir alle mindestens zwei Mathematikabschlüsse brauchen, um es genauer zu machen.)

In jedem Fall ist die Graham-Zahl eine obere Schätzung dieser Mindestanzahl von Dimensionen. Wie groß ist diese Obergrenze? Kommen wir zurück zu einer Zahl, die so groß ist, dass wir den Algorithmus zu ihrer Ermittlung ziemlich vage verstehen können. Anstatt einfach eine weitere Ebene nach oben zu springen, zählen wir jetzt dice Zahl, dice Pfeile zwischen dem ersten und dem letzten Tripel hat. Jetzt sind wir weit über das geringste Verständnis hinaus, was diese Zahl ist oder was getan werden muss, um sie zu berechnen.

Wiederholen Sie nun diesen Vorgang mal ( Hinweis Bei jedem nächsten Schritt schreiben wir die Anzahl der Pfeile gleich der im vorherigen Schritt erhaltenen Anzahl).

Dies, meine Damen und Herren, ist Grahams Zahl, die etwa eine Größenordnung über dem menschlichen Verständnis liegt. Es ist eine Zahl, die so viel mehr ist als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können – sie ist weit mehr als jede Unendlichkeit, die Sie sich jemals vorstellen können – sie widersetzt sich einfach jeder abstraktesten Beschreibung.

Aber hier ist das Seltsame. Da Grahams Zahl im Grunde nur aus Tripeln besteht, die miteinander multipliziert werden, kennen wir einige ihrer Eigenschaften, ohne sie tatsächlich zu berechnen. Wir können Grahams Zahl in keiner uns vertrauten Annotation darstellen, selbst wenn wir das gesamte Universum verwendet hätten, um sie aufzuschreiben, aber ich kann Ihnen jetzt die letzten zwölf Ziffern von Grahams Zahl geben: . Und das ist noch nicht alles: Wir kennen zumindest die letzten Ziffern von Grahams Nummer.

Natürlich sollte human sich daran erinnern, dass diese Zahl nur eine Obergrenze in Grahams ursprünglichem Problem ist. Es ist möglich, dass dice tatsächliche Anzahl von Messungen, die erforderlich ist, um die gewünschte Eigenschaft zu erfüllen, viel, viel geringer ist. Tatsächlich glauben seit den 1980er Jahren dice meisten Experten auf diesem Gebiet, dass es tatsächlich nur sechs Dimensionen gibt – eine Zahl, die so klein ist, dass wir sie auf einer intuitiven Ebene verstehen können. Dice Untergrenze wurde seitdem auf erhöht, aber es besteht immer noch eine sehr gute Chance, dass die Lösung von Grahams Problem nicht in der Nähe einer so großen Zahl wie Grahams liegt.

Zur Unendlichkeit

Es gibt also Zahlen, dice größer sind als Grahams Zahl? Natürlich gibt es für den Anfang die Graham-Zahl. Was dice signifikante Zahl angeht ... nun, es gibt einige teuflisch schwierige Bereiche der Mathematik (insbesondere des als Kombinatorik bekannten Gebiets) und der Informatik, in denen es Zahlen gibt, die sogar noch größer sind als Grahams Zahl. Aber wir haben fast dice Grenze dessen erreicht, was ich hoffentlich jemals vernünftig erklären kann. Für diejenigen, die leichtsinnig genug sind, noch weiter zu gehen, wird zusätzliche Lektüre auf eigenes Risiko angeboten.

Nun, jetzt ein erstaunliches Zitat, das Douglas Ray zugeschrieben wird ( Hinweis Klingt ehrlich gesagt ziemlich komisch:

„Ich sehe Klumpen vage Zahlen, die da draußen im Dunkeln lauern, hinter dem kleinen Lichtpunkt, den die Geisteskerze gibt. Sie flüstern miteinander; darüber reden, wer was weiß. Vielleicht mögen sie uns nicht sehr, weil wir ihre kleinen Brüder mit unseren Gedanken gefangen nehmen. Oder vielleicht führen sie einfach eine eindeutig zahlenmäßige Lebensweise da draußen, jenseits unseres Verständnisses."

Dice Frage „Was ist die größte Zahl der Welt?" ist, gelinde gesagt, falsch. Es gibt sowohl verschiedene Rechensysteme - dezimal, binär und hexadezimal - als auch verschiedene Kategorien von Zahlen - halbeinfach und prim, wobei letztere in legal und illegal unterteilt werden. Dazu kommen die Zahlen von Skewes (Skewes „Zahl"), Steinhaus und anderen Mathematikern, die entweder scherzhaft oder ernsthaft solche Exoten wie „Megiston" oder „Moser" erfinden und an die Öffentlichkeit bringen.

Was ist die größte dezimalzahl der welt

Aus dem Dezimalsystem kennen die meisten "Nicht-Mathematiker" die Millionen, Milliarden und Billionen. Darüber hinaus, wenn eine Million unter Russen hauptsächlich mit einem Dollar-Bestechungsgeld in Verbindung gebracht wird, das in einem Koffer weggetragen werden kann, wo dann eine Milliarde (ganz zu schweigen von einer Billion) nordamerikanischen Banknoten geschoben werden soll - die meisten haben nicht genug Vorstellungskraft. In der Theorie der großen Zahlen gibt es jedoch Konzepte wie Billiarde (zehn hoch fünfzehn - 1015), Sextillion (1021) und Oktillion (1027).

In Englisch, dem am weitesten verbreiteten Dezimalsystem der Welt, ist die maximale Zahl Dezillion - 1033.

Im Zusammenhang mit der Entwicklung der angewandten Mathematik und der Erweiterung des Mikro- und Makrokosmos veröffentlichte Edward Kasner, Professor an der Columbia University (U.s.), 1938 auf den Seiten der Zeitschrift "Scripta Mathematica" den Vorschlag seiner neunjährigen change Neffe verwendet das Dezimalsystem als die meist große Zahl "googol" ("googol") - die zehn hoch hundert (10100) darstellt, dice auf dem Papier als Einheit mit hundert Nullen ausgedrückt wird. Sie hörten hier jedoch nicht auf und schlugen einige Jahre später vor, dice neue größte Zahl der Welt in Umlauf zu bringen - "googolplex" (googolplex), dice zehn zur zehnten Potenz und erneut zur hundertsten Potenz erhoben ist - ( 1010) 100, ausgedrückt durch Eins, dem rechts ein Googol aus Nullen zugeordnet ist. Allerdings sind sowohl „googol" als auch „googolplex" für die Mehrheit selbst professioneller Mathematiker von rein spekulativem Interesse, und es ist unwahrscheinlich, dass sie auf irgendetwas in der täglichen Praxis angewendet werden können.

Exotische Zahlen

Was ist die größte Zahl der Welt unter den Primzahlen - diejenigen, die nur durch sich selbst und durch Eins geteilt werden können? Einer der ersten, der die größte Primzahl, 2.147.483.647, aufzeichnete, state of war der große Mathematiker Leonhard Euler. Ab Januar 2016 ist diese Zahl ein Ausdruck, der als 274 207 281 - one berechnet wird.

Diese Frage kann nicht richtig beantwortet werden, da dice Zahlenreihe keine Obergrenze hat. Zu jeder Zahl reicht es likewise aus, nur eins hinzuzufügen, um eine noch größere Zahl zu erhalten. Obwohl dice Zahlen selbst unendlich sind, haben sie nicht sehr viele Eigennamen, da sich dice meisten mit Namen begnügen, die aus kleineren Zahlen bestehen. So haben zum Beispiel die Zahlen und ihre eigenen Namen "eins" und "einhundert", und der Name der Zahl ist bereits zusammengesetzt ("einhunderteins"). Es ist klar, dass es in der letzten Reihe von Zahlen, die die Menschheit mit ihrem eigenen Namen vergeben hat, eine größte Zahl geben muss. Aber wie heißt es und was ist gleich? Versuchen wir es herauszufinden und finden gleichzeitig heraus, auf welche großen Zahlen Mathematiker gekommen sind.

"Kurze" und "lange" Skala

Die Geschichte des modernen Benennungssystems für große Zahlen reicht bis in dice Mitte des fifteen. Jahrhunderts zurück, als in Italien die Wörter "Million" (wörtlich - ein großes Tausend) für Tausend zum Quadrat und "Bimillion" für eine Meg verwendet wurden quadriert und "Trimillion" für eine Million in Kubik. Wir kennen dieses Organization dank des französischen Mathematikers Nicolas Chuquet (ca. 1450 - ca. 1500): In seiner Abhandlung "Dice Wissenschaft der Zahlen" (Triparty en la science des nombres, 1484) entwickelte er diese Idee und schlug vor, sie weiterzuentwickeln Verwenden Sie dice lateinischen Kardinalzahlen (siehe Tabelle) und hängen Sie sie an dice Endung "-1000000" an. Aus Shukes "Bimillion" wurde also eine Milliarde, aus "Trimillion" eine Billion und aus einer 1000000 hoch vier wurde eine "Billiarde".

In Schückes System hatte eine Zahl, die zwischen einer Million und einer Milliarde lag, keinen eigenen Namen und hieß einfach "tausend Millionen", ähnlich hieß sie "tausend Milliarden", - "tausend Billionen" usw. Es war nicht sehr praktisch, und 1549 schlug der französische Schriftsteller und Wissenschaftler Jacques Peletier du Mans (1517-1582) vor, solche "Zwischen"-Zahlen mit denselben lateinischen Präfixen, aber der Endung "-billion" zu benennen. Too wurde es "Milliarde", - "Billard", - "Trillard" usw. genannt.

Das Shuquet-Peletier-System wurde allmählich populär und wurde in ganz Europa verwendet. Im 17. Jahrhundert tauchte jedoch ein unerwartetes Problem auf. Es stellte sich heraus, dass einige Wissenschaftler aus irgendeinem Grund verwirrt wurden und die Zahl nicht „eine Milliarde" oder „tausend Millionen", sondern „eine Milliarde" nannten. Bald verbreitete sich dieser Fehler schnell und es entstand eine paradoxe Situation - "Milliarde" wurde gleichzeitig zum Synonym für "Milliarde" () und "Million Millionen" ().

Diese Verwirrung hielt lange an und führte dazu, dass in den The states ein eigenes Arrangement zur Benennung großer Zahlen geschaffen wurde. Nach dem amerikanischen System sind die Namen von Zahlen genauso aufgebaut wie im Schuke-System - das lateinische Präfix und die Endung "Million". Diese Zahlen sind jedoch unterschiedlich. Wenn im Schuecke-Organization Namen mit der Endung „million" Zahlen erhielten, die Potenzen von einer Million waren, dann erhielt die Endung „-million" im amerikanischen System Tausenderpotenzen. Das heißt, tausend Millionen () wurden als "Milliarde", () - "Billion", () - "Billiarde" usw. bekannt.

Das alte System der Benennung großer Zahlen wurde im konservativen Großbritannien weiter verwendet und begann, auf der ganzen Welt als "britisch" bezeichnet zu werden, obwohl es von den Franzosen Shuquet und Peletier erfunden wurde. In den 1970er Jahren wechselte Großbritannien jedoch offiziell zum „amerikanischen Organization", was dazu führte, dass es irgendwie seltsam wurde, ein System amerikanisch und ein anderes britisch zu nennen. Infolgedessen wird das amerikanische Organisation heute allgemein als "Short Scale" und das britische oder Chuquet-Peletier-System als "Long Scale" bezeichnet.

Um nicht verwirrt zu werden, fassen wir das Zwischenergebnis zusammen:

Nummernname	Wert auf der „kurzen Skala"	Wert auf der „langen Skala"
1000000
Milliarde
Milliarde
Billard-	-
Billion
Billion	-
Billiarde
Billiarde	-
Trillion
Trillion	-
Sextillion
Sextillion	-
Septillion
Septilliarde	-
Oktillion
Oktilliard	-
Trillion
Nonilliard	-
Dezillion
Zehner	-
Millionen
viginmilliarde	-
Centillion
Centmilliarde	-
Millionen
Milliarden	-

Die Kurznamenskala wird derzeit in den USA, Großbritannien, Kanada, Irland, Australien, Brasilien und Puerto Rico verwendet. Russland, Dänemark, die Türkei und Bulgarien verwenden ebenfalls die Kurzskala, außer dass die Zahl "Milliarde" und nicht "Milliarde" heißt. Die lange Skala wird auch heute noch in den meisten anderen Ländern verwendet.

Es ist merkwürdig, dass in unserem Land der endgültige Übergang zur kurzen Skala erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts stattfand. So erwähnt beispielsweise sogar Jakow Isidorowitsch Perelman (1882–1942) in seiner „Unterhaltsamen Arithmetik" die parallele Existenz zweier Waagen in der UdSSR. Die kurze Skala wurde laut Perelman im Alltag und bei Finanzberechnungen verwendet, die lange in wissenschaftlichen Büchern über Astronomie und Physik. Jetzt ist es jedoch falsch, in Russland eine lange Skala zu verwenden, obwohl die Zahlen dort groß sind.

Aber zurück zum Finden der größten Zahl. Nach einer Dezillion werden die Namen von Zahlen durch Kombinieren von Präfixen erhalten. Then erhält man Zahlen wie Undecillion, Duodecillion, Tredecillion, Quattordecillion, Quindecillion, Sexdecillion, Septemdecillion, Octodecillion, Novemdecillion usw. Diese Namen sind für uns jedoch nicht mehr von Interesse, da wir uns darauf geeinigt haben, die größte Zahl mit einem eigenen nicht zusammengesetzten Namen zu finden.

Wenn wir uns der lateinischen Grammatik zuwenden, werden wir feststellen, dass die Römer nur drei nicht zusammengesetzte Namen für Zahlen über zehn hatten: viginti – „zwanzig", centum – „einhundert" und mille – „tausend". Für Zahlen größer als "tausend" hatten die Römer keine eigenen Namen. Zum Beispiel eine Million () Dice Römer nannten es „decies centena milia", also „zehnmal hunderttausend". Diese drei verbleibenden lateinischen Ziffern geben uns nach der Schuecke-Regel solche Namen für Zahlen wie „vigintillion", „centillion" und „milleillion".

Wir haben also herausgefunden, dass auf der "kurzen Skala" die maximale Zahl, dice einen eigenen Namen hat und nicht aus kleineren Zahlen zusammengesetzt ist, "1000000" () ist. Wenn in Russland eine „lange Skala" von Namensnummern eingeführt würde, wäre die größte Zahl mit eigenem Namen „Millionillion" ().

Es gibt jedoch Namen für noch größere Zahlen.

Zahlen außerhalb des Systems

Einige Nummern haben ihren eigenen Namen, ohne Verbindung mit dem Namenssystem mit lateinischen Präfixen. Und es gibt viele solcher Zahlen. Sie können sich zum Beispiel die Zahl due east, die Zahl „pi", ein Dutzend, die Zahl des Tieres usw. merken. zusammengesetzte Namen, die mehr als eine Million sind.

Bis zum 17. Jahrhundert verwendete Russland ein eigenes System zur Benennung von Zahlen. Zehntausende wurden "Dunkel" genannt, Hunderttausende wurden "Legionen" genannt, Millionen wurden "Leodren" genannt, Zehnmillionen wurden "Raben" genannt und Hunderte Millionen wurden "Decks" genannt. Dieses Konto bis zu Hunderten von Millionen wurde das „kleine Konto" genannt, und in einigen Manuskripten betrachteten dice Autoren auch das „große Konto", in dem die gleichen Namen für große Zahlen verwendet wurden, jedoch mit einer anderen Bedeutung. „Dunkelheit" bedeutete as well nicht mehr zehntausend, sondern tausendtausend () , "Legion" - die Dunkelheit von denen () ; "leodr" - Legion der Legionen () , "Rabe" - leodr leodrov (). „Deck" im großen slawischen Bericht wurde aus irgendeinem Grund nicht „Rabe der Raben" genannt. () , aber nur zehn "Raben", also (siehe Tabelle).

Nummernname	Bedeutung in "kleine Anzahl"	Bedeutung im "großen Konto"	Bezeichnung
Dunkel
Legion
Leodr
Rabe (Rabe)
Deck
Dunkelheit der Themen

Die Nummer hat auch einen eigenen Namen und wurde von einem neunjährigen Jungen erfunden. Und so war es auch. 1938 ging der amerikanische Mathematiker Edward Kasner (Edward Kasner, 1878–1955) mit seinen beiden Neffen im Park spazieren und diskutierte mit ihnen über große Zahlen. Während des Gesprächs sprachen wir über eine Nummer mit hundert Nullen, die keinen eigenen Namen hatte. Einer seiner Neffen, der neunjährige Milton Sirott, schlug vor, diese Nummer „googol" zu nennen. 1940 schrieb Edward Kasner zusammen mit James Newman das populärwissenschaftliche Buch „Mathematics and Imagination", in dem er Mathematikliebhabern von der Anzahl der Googols erzählte. Noch bekannter wurde Google Ende der 1990er Jahre durch die nach ihm benannte Google-Suchmaschine.

Der Name für eine noch größere Zahl als Googol entstand 1950 dank des Vaters der Informatik, Claude Shannon (Claude Elwood Shannon, 1916–2001). In seinem Artikel „Programming a Computer to Play Chess" versuchte er, die Anzahl möglicher Varianten eines Schachspiels abzuschätzen. Danach dauert jedes Spiel durchschnittlich viele Züge, und bei jedem Zug trifft der Spieler eine durchschnittliche Auswahl an Optionen, die (ungefähr gleich) den Spieloptionen entspricht. Diese Arbeit wurde weithin bekannt, und diese Nummer wurde als "Shannon-Nummer" bekannt.

In der bekannten buddhistischen Abhandlung Jaina Sutra aus dem Jahr 100 v. Chr. findet sich dice Zahl „asankheya" gleich . Es wird angenommen, dass diese Zahl der Anzahl der kosmischen Zyklen entspricht, dice erforderlich sind, um das Nirvana zu erlangen.

Der neunjährige Milton Sirotta trat in die Geschichte der Mathematik ein, indem er nicht nur die Googol-Zahl erfand, sondern gleichzeitig eine andere Zahl vorschlug - „Googolplex", die der Macht von „Googol", also Eins, entspricht mit dem Googol der Nullen.

Zwei weitere Zahlen, die größer als der Googolplex sind, wurden vom südafrikanischen Mathematiker Stanley Skewes (1899–1988) vorgeschlagen, als er die Riemann-Hypothese bewies. Die erste Zahl, dice später „Skeuses erste Zahl" genannt wurde, ist gleich der Potenz zur Potenz von , also . Die „zweite Skewes-Zahl" ist jedoch noch größer und beträgt .

Offensichtlich ist es umso schwieriger, Zahlen aufzuschreiben und ihre Bedeutung beim Lesen zu verstehen, je mehr Course in der Anzahl der Grade enthalten sind. Außerdem ist es möglich, solche Zahlen zu finden (und sie wurden übrigens bereits erfunden), wenn die Gradzahlen einfach nicht auf die Seite passen. Ja, was für eine Seite! Sie passen nicht einmal in ein Buch von der Größe des gesamten Universums! In diesem Fall stellt sich die Frage, wie man solche Zahlen aufschreibt. Das Problem ist glücklicherweise lösbar, und Mathematiker haben mehrere Prinzipien entwickelt, um solche Zahlen zu schreiben. Sicher, jeder Mathematiker, der dieses Problem gestellt hat, hat seine eigene Schreibweise entwickelt, was dazu geführt hat, dass es mehrere voneinander unabhängige Schreibweisen für große Zahlen gab - dies sind die Notationen von Knuth, Conway, Steinhaus usw. Wir müssen uns jetzt damit befassen mit einigen von ihnen.

Andere Notationen

1938, im selben Jahr, in dem der neunjährige Milton Sirotta die Googol- und Googolplex-Zahlen erfand, erschien in Polen Hugo Dionizy Steinhaus (1887–1972), ein Buch über unterhaltsame Mathematik, The Mathematical Kaleidoscope. Dieses Buch wurde sehr populär, erlebte viele Auflagen und wurde in viele Sprachen übersetzt, darunter Englisch und Russisch. Darin bietet Steinhaus in Bezug auf große Zahlen eine einfache Möglichkeit, sie mit drei geometrischen Formen zu schreiben - einem Dreieck, einem Quadrat und einem Kreis:

"in einem Dreieck" bedeutet "",
"in einem Quadrat" bedeutet "in Dreiecken",
"in einem Kreis" bedeutet "in Quadraten".

Zur Erklärung dieser Schreibweise kommt Steinhaus auf die Zahl „mega", gleich im Kreis und zeigt, dass sie gleich im „Quadrat" oder im Dreieck ist. Um es zu berechnen, musst du es potenzieren, die resultierende Zahl potenzieren, dann die resultierende Zahl potenzieren mit der resultierenden Zahl und and so weiter, um dice Potenz von Zeiten zu erhöhen. Beispielsweise kann der Taschenrechner in MS Windows wegen Überlauf auch in zwei Dreiecken nicht rechnen. Ungefähr diese große Zahl ist .

Nachdem Steinhaus die Zahl "Mega" ermittelt hat, lädt Steinhaus die Leser ein, eine andere Zahl unabhängig zu bewerten - "Medzon", gleich im Kreis. In einer anderen Ausgabe des Buches schlägt Steinhaus anstelle der Medzone vor, eine noch größere Zahl zu bewerten - „Megiston", gleich im Kreis. In Anlehnung an Steinhaus werde ich den Lesern auch empfehlen, eine Pause von diesem Text einzulegen und zu versuchen, diese Zahlen mit gewöhnlichen Kräften selbst zu schreiben, um ihre gigantische Größe zu spüren.

Es gibt jedoch Namen für große Zahlen. So hat der kanadische Mathematiker Leo Moser (Leo Moser, 1921–1970) die Steinhaus-Notation fertiggestellt, die dadurch eingeschränkt war, dass, wenn es notwendig wäre, Zahlen aufzuschreiben, die viel größer als ein Megaston sind, Schwierigkeiten und Unannehmlichkeiten auftreten würden, da eins müsste viele Kreise ineinander ziehen. Moser schlug vor, nicht Kreise nach Quadraten zu zeichnen, sondern Fünfecke, dann Sechsecke und so weiter. Er schlug auch eine formale Annotation für diese Polygone vor, damit Zahlen geschrieben werden können, ohne komplexe Muster zu zeichnen. Die Moser-Notation sieht folgendermaßen aus:

"Dreieck" = = ;
"in einem Quadrat" = = "in Dreiecken" =;
"im Fünfeck" = = "in den Quadraten" = ;
"in -gon" = = "in -gons" = .

So wird nach Mosers Schreibweise das Steinhaussche „mega" als geschrieben, „medzon" als und „megiston" als . Darüber hinaus schlug Leo Moser vor, ein Polygon mit einer Seitenzahl von Mega - "Megagon" zu nennen. Und bot eine Nummer an « in einem Megagon", das heißt. Diese Zahl wurde als Moser-Zahl oder einfach als "Moser" bekannt.

Aber auch „moser" ist nicht die größte Zahl. Die größte Zahl, die jemals in einem mathematischen Beweis verwendet wurde, ist also die „Graham-Zahl". Diese Zahl wurde erstmals 1977 von dem amerikanischen Mathematiker Ronald Graham verwendet, als er eine Schätzung in der Ramsey-Theorie bewies, nämlich bei der Berechnung der Dimensionen bestimmter -dimensional bichromatische Hyperwürfel. Berühmt wurde Grahams Zahl erst nach der Geschichte darüber in Martin Gardners Buch „From Penrose Mosaics to Secure Ciphers" von 1989.

Um zu erklären, wie groß die Graham-Zahl ist, muss man eine andere Schreibweise großer Zahlen erklären, die 1976 von Donald Knuth eingeführt wurde. Der amerikanische Professor Donald Knuth entwickelte das Konzept des Supergrades, das er mit nach oben zeigenden Pfeilen schreiben wollte.

Die üblichen arithmetischen Operationen - Improver, Multiplikation und Potenzierung - können natürlich wie folgt zu einer Folge von Hyperoperatoren erweitert werden.

Die Multiplikation natürlicher Zahlen kann durch dice wiederholte Functioning der Improver („Kopien einer Zahl addieren") definiert werden:

Zum Beispiel,

Das Potenzieren einer Zahl kann als wiederholte Multiplikationsoperation definiert werden ("Kopien einer Zahl multiplizieren"), und in Knuths Notation sieht dieser Eintrag wie ein einzelner Pfeil aus, der nach oben zeigt:

Zum Beispiel,

Ein solcher einzelner Aufwärtspfeil wurde in der Programmiersprache Algol als Gradsymbol verwendet.

Zum Beispiel,

Hier und im Folgenden geht die Auswertung des Ausdrucks immer von rechts nach links, und Knuths Pfeiloperatoren (wie auch dice Potenzierungsoperation) haben per Definition Rechtsassoziativität (Reihenfolge von rechts nach links). Nach dieser Definition ist

Das führt schon zu recht großen Zahlen, aber dice Notation endet hier nicht. Der Dreifachpfeil-Operator wird verwendet, um dice wiederholte Potenzierung des Doppelpfeil-Operators (auch bekannt als "Pentation") zu schreiben:

Dann der „Vierfachpfeil"-Operator:

Usw. Allgemeiner Regeloperator "-ICH Pfeil", gemäß Rechtsassoziativität, setzt sich nach rechts in eine sequentielle Reihe von Operatoren fort « Pfeil". Symbolisch lässt sich dies wie folgt schreiben:

Zum Beispiel:

Die Notationsform wird normalerweise zum Schreiben mit Pfeilen verwendet.

Einige Zahlen sind so groß, dass selbst das Schreiben mit Knuths Pfeilen zu umständlich wird; In diesem Fall ist die Verwendung des Operators -Pfeil (auch für eine Beschreibung mit einer variablen Anzahl von Pfeilen) oder gleichwertig zu Hyperoperatoren vorzuziehen. Aber einige Zahlen sind so groß, dass selbst eine solche Annotation nicht ausreicht. Zum Beispiel die Graham-Zahl.

Bei Verwendung der Knuth's Arrow-Notation kann die Graham-Zahl geschrieben werden als

Wobei dice Anzahl der Pfeile in jeder Schicht, beginnend von oben, durch dice Anzahl in der nächsten Schicht bestimmt wird, d. h. wobei , wobei der hochgestellte Pfeil dice Gesamtzahl der Pfeile angibt. Mit anderen Worten, es wird schrittweise gerechnet: Im ersten Schritt rechnen wir mit vier Pfeilen zwischen Dreien, im zweiten - mit Pfeilen zwischen Dreien, im dritten - mit Pfeilen zwischen Dreien und so weiter; am Ende rechnen wir aus den Pfeilen zwischen den Tripletts.

Dies kann geschrieben werden als , wobei , wobei das hochgestellte y Funktionsiterationen bezeichnet.

Wenn andere Zahlen mit „Namen" der entsprechenden Anzahl von Objekten zugeordnet werden können (z. B. wird die Anzahl der Sterne im sichtbaren Teil des Universums in Sextillionen geschätzt - , und die Anzahl der Atome, aus denen der Globus besteht, hat die Reihenfolge von Dodecallions), dann ist das Googol bereits „virtuell", ganz zu schweigen von der Graham-Zahl. Allein die Skala des ersten Terms ist and then groß, dass es fast unmöglich ist, ihn zu verstehen, obwohl dice obige Notation relativ einfach zu verstehen ist. Obwohl - das ist nur die Anzahl der Türme in dieser Formel für , ist diese Zahl schon viel größer als die Anzahl der Planck-Volumina (das kleinstmögliche physikalische Volumen), die im beobachtbaren Universum enthalten sind (ungefähr ). Nach dem ersten Mitglied erwartet uns ein weiteres Mitglied der schnell wachsenden Reihe.

17. Juni 2015

Wir setzen unsere fort. Heute haben wir Zahlen...

Früher oder später wird jeder von der Frage gequält, was die größte Zahl ist. Dice Frage eines Kindes kann in einer Million beantwortet werden. Was kommt als nächstes? Billion. Und noch weiter? Tatsächlich ist dice Antwort auf die Frage, was die größten Zahlen sind, einfach. Es lohnt sich einfach, zur größten Zahl eins zu addieren, da es dann nicht mehr die größte ist. Dieses Verfahren kann unbegrenzt fortgesetzt werden.

Aber wenn Sie sich fragen: Was ist die größte Zahl, die es gibt, und wie heißt sie selbst?

Jetzt wissen wir alle ...

Es gibt zwei Systeme zur Benennung von Nummern - Amerikanisch und Englisch.

Das amerikanische System ist recht einfach aufgebaut. Alle Namen großer Zahlen sind so aufgebaut: Am Anfang steht eine lateinische Ordnungszahl, an deren Ende das Suffix -million angehängt wird. Ausnahme ist der Proper name „Million", der Name der Zahl Tausend (lat. Mille) und dem Lupen-Suffix -million (siehe Tabelle). So werden die Zahlen erhalten - Billionen, Billiarden, Quintillionen, Sextillionen, Septillionen, Oktillionen, Nonrillionen und Dezillionen. Das amerikanische Organization wird in den Usa, Kanada, Frankreich und Russland verwendet. Die Anzahl der Nullen in einer im amerikanischen Organization geschriebenen Zahl kannst du mit der einfachen Formel 3 x + 3 (wobei x eine lateinische Zahl ist) ermitteln.

Das englische Namenssystem ist das weltweit am weitesten verbreitete. Es wird beispielsweise in Großbritannien und Spanien sowie in den meisten ehemaligen englischen und spanischen Kolonien verwendet. Dice Namen von Zahlen in diesem Organization sind folgendermaßen aufgebaut: So wird der lateinischen Zahl ein Suffix -Million hinzugefügt, die nächste Zahl (1000-mal größer) wird nach dem Prinzip aufgebaut - dieselbe lateinische Zahl, aber das Suffix ist -Milliarde. Das heißt, nach einer Billion kommt im englischen System eine Billion, und erst dann eine Billiarde, gefolgt von einer Billiarde und so weiter. Eine Billiarde nach englischem und amerikanischem Organization sind also völlig unterschiedliche Zahlen! Sie können dice Anzahl der Nullen in einer Zahl ermitteln, die im englischen Organization geschrieben ist und auf das Suffix -1000000 endet, indem Sie die Formel 6 x + three (wobei 10 eine lateinische Zahl ist) und die Formel six ten + 6 für Zahlen, die auf enden, verwenden -Milliarde.

Nur dice Zahl Milliarde (10 9 ) ist aus dem englischen System in die russische Sprache übergegangen, die jedoch korrekter wäre, sie so zu nennen, wie die Amerikaner sie nennen - eine Milliarde, da wir das amerikanische Arrangement übernommen haben. Aber wer in unserem Country tut etwas nach den Regeln! ;-) Übrigens wird das Wort Billion manchmal auch im Russischen verwendet (Sie können sich selbst davon überzeugen, indem Sie eine Suche in Google oder Yandex durchführen) und es bedeutet anscheinend yard Billionen, d.h. Billiarde.

Neben Nummern, die mit lateinischen Präfixen im amerikanischen oder englischen Organization geschrieben werden, sind auch die sogenannten Off-System-Nummern bekannt, d.h. Nummern, die eigene Namen ohne lateinische Präfixe haben. Es gibt mehrere solcher Zahlen, aber ich werde etwas später ausführlicher darauf eingehen.

Kehren wir zum Schreiben mit lateinischen Ziffern zurück. Es scheint, dass sie Zahlen bis ins Unendliche schreiben können, aber das ist nicht ganz richtig. Jetzt erkläre ich warum. Sehen wir uns zunächst an, wie die Zahlen von 1 bis x 33 heißen:

Und then stellt sich jetzt dice Frage, wie weiter. Was ist eine Dezillion? Im Prinzip ist es natürlich möglich, durch die Kombination von Präfixen solche Monster zu erzeugen wie: Andecillion, Duodecillion, Tredecillion, Quattordecillion, Quindecilion, Sexdecillion, Septemdecillion, Octodecillion und Novemdecillion, aber das werden bereits zusammengesetzte Namen sein, und das chapeau uns interessiert unsere eigenen Namensnummern. Daher können Sie nach diesem System zusätzlich zu den oben angegebenen nur noch drei Vignillionen (von lat.viginti - zwanzig), Centillion (von lat. Prozent - einhundert) und eine Meg (von lat. Mille - eintausend). Die Römer hatten nicht mehr als tausend eigene Namen für Zahlen (alle Zahlen über tausend waren zusammengesetzt). Zum Beispiel riefen eine One thousand thousand (ane.000.000) Römer an Centena milia d.h. zehnhunderttausend. Und jetzt eigentlich die Tabelle:

And then sind nach einem ähnlichen System Zahlen größer als 10 3003 , das einen eigenen, nicht zusammengesetzten Namen haben würde, ist unmöglich zu bekommen! Aber dennoch sind Zahlen von mehr als einer Meg bekannt - das sind die sehr nicht-systemischen Zahlen. Lassen Sie uns schließlich über sie sprechen.

Dice kleinste solche Zahl ist eine Myriade (es steht sogar in Dahls Wörterbuch), was hunderthundert bedeutet, dh 10 000. Dieses Wort ist zwar veraltet und wird praktisch nicht verwendet, aber es ist merkwürdig, dass das Wort "Myriade" weit verbreitet ist verwendet, was überhaupt keine bestimmte Zahl bedeutet, sondern eine unzählbare, unzählbare Menge von etwas. Es wird angenommen, dass das Wort Myriade (englische Myriade) aus dem alten Ägypten in europäische Sprachen kam.

Über dice Herkunft dieser Nummer gibt es unterschiedliche Meinungen. Einige glauben, dass es aus Ägypten stammt, während andere glauben, dass es nur im antiken Griechenland geboren wurde. Wie dem auch sei, dice Myriade wurde gerade chilly der Griechen berühmt. Myriad war der Proper noun für 10.000, und es gab keine Namen für Zahlen über Zehntausend. In der Notiz „Psammit" (d. h. das Kalkül des Sandes) zeigte Archimedes jedoch, wie man systematisch beliebig große Zahlen aufbauen und benennen kann. Insbesondere wenn er 10.000 (Myriaden) Sandkörner in einen Mohnsamen legt, stellt er fest, dass in das Universum (eine Kugel mit einem Durchmesser von Myriaden von Erddurchmessern) (in unserer Notation) nicht mehr als 10 passen würden 63 Sandkörner. Es ist merkwürdig, dass moderne Berechnungen der Anzahl der Atome im sichtbaren Universum zu der Zahl 10 führen 67 (nur unzählige Male person mehr). Die Namen der von Archimedes vorgeschlagenen Zahlen lauten wie folgt:
1 Myriade = 10 four .
one Di-Myriade = Myriade Myriade = 10 eight .
1 Tri-Myriade = Di-Myriade Di-Myriade = 10 16 .
1 Tetra-Myriade = Drei-Myriade Drei-Myriade = 10 32 .
usw.

Googol (vom englischen googol) ist dice Zahl zehn hoch hundert, also eins mit hundert Nullen. Der "Googol" wurde erstmals 1938 in dem Artikel "New Names in Mathematics" in der Januarausgabe der Zeitschrift Scripta Mathematica des amerikanischen Mathematikers Edward Kasner erwähnt. Ihm zufolge schlug sein neunjähriger Neffe Milton Sirotta vor, eine große Zahl „Googol" zu nennen. Bekannt wurde diese Nummer durch dice nach ihm benannte Suchmaschine. Google. Beachten Sie, dass "Google" eine Marke und googol eine Nummer ist.

Eduard Kasner.

Im Internet findet human often Erwähnung - dem ist aber nicht so ...

In der bekannten buddhistischen Abhandlung Jaina Sutra aus dem Jahr 100 v. Chr. wird die Zahl Asankheya (aus dem Chinesischen. asentzi- unberechenbar), gleich 10 140. Es wird angenommen, dass diese Zahl der Anzahl der kosmischen Zyklen entspricht, dice erforderlich sind, um das Nirvana zu erlangen.

Googolplex (Englisch) googolplex ) - eine Zahl, die auch Kasner mit seinem Neffen erfunden lid und dice eine mit vielen Nullen bedeutet, besides x 10100 . So beschreibt Kasner selbst diese „Entdeckung":

Weisheiten werden von Kindern mindestens so oft gesprochen wie von Wissenschaftlern. Der Name „Googol" wurde von einem Kind erfunden (Dr. Kasners neunjähriger Neffe), das gebeten wurde, sich einen Namen für eine sehr große Zahl auszudenken, nämlich 1 mit hundert Nullen dahinter sicher, dass diese Zahl nicht unendlich war, und daher ebenso sicher, dass sie einen Namen haben musste, ein Googol, aber dennoch endlich ist, wie der Erfinder des Namens schnell betonte.

Mathematik und die Vorstellungskraft(1940) von Kasner und James R. Newman.

Noch größer als die Googolplex-Nummer wurde dice Nummer von Skewes 1933 von Skewes vorgeschlagen (Skewes. J.LondonMath. Soz. 8, 277-283, 1933.) beim Beweis der Riemann-Vermutung über Primzahlen. Es bedeutet due east soweit e soweit e hoch 79, also ee e 79 . Später Riele (te Riele, H. J. J. „On the Sign of the Divergence P(x)-Li(ten)." Mathematik. Berechnung. 48, 323-328, 1987) reduzierte die Zahl von Skuse auf ee 27/4 , was ungefähr viii,185 10 370 entspricht. Es ist klar, dass da der Wert der Skewes-Zahl von der Zahl abhängt e, dann ist es keine ganze Zahl, too werden wir es nicht berücksichtigen, sonst müssten wir uns an andere nicht natürliche Zahlen erinnern - die Zahl pi, dice Zahl due east usw.

Es sollte jedoch beachtet werden, dass es eine zweite Skewes-Zahl gibt, die in der Mathematik als Sk2 bezeichnet wird, die noch größer ist als die erste Skewes-Zahl (Sk1). Skuses zweite Nummer, wurde von J. Skuse im selben Artikel eingeführt, um eine Zahl zu bezeichnen, für die die Riemann-Hypothese nicht aureate. Sk2 ist 1010 10tenthree , also 1010 101000 .

Wie Sie verstehen, ist es umso schwieriger zu verstehen, welche der Zahlen größer ist, je mehr Grade es gibt. Wenn man sich beispielsweise die Skewes-Zahlen ansieht, ist es ohne spezielle Berechnungen fast unmöglich zu verstehen, welche dieser beiden Zahlen größer ist. Daher wird es für supergroße Zahlen unbequem, Potenzen zu verwenden. Außerdem können Sie sich solche Zahlen einfallen lassen (und sie wurden bereits erfunden), wenn die Gradzahlen einfach nicht auf die Seite passen. Ja, was für eine Seite! Sie passen nicht einmal in ein Buch von der Größe des gesamten Universums! In diesem Fall stellt sich die Frage, wie man sie aufschreibt. Wie Sie verstehen, ist das Problem lösbar, und Mathematiker haben mehrere Prinzipien entwickelt, um solche Zahlen zu schreiben. Es stimmt, jeder Mathematiker, der dieses Problem gestellt hat, lid seine eigene Schreibweise entwickelt, was dazu geführt hat, dass mehrere, voneinander unabhängige Schreibweisen von Zahlen entstanden sind - dies sind die Notationen von Knuth, Conway, Steinhaus usw.

Betrachten Sie dice Notation von Hugo Stenhaus (H. Steinhaus. Mathematische Momentaufnahmen, 3. Aufl. 1983), was ganz einfach ist. Steinhouse schlug vor, große Zahlen in geometrische Formen zu schreiben – ein Dreieck, ein Quadrat und einen Kreis:

Steinhouse chapeau sich zwei neue supergroße Zahlen ausgedacht. Er rief die Nummer – Mega und die Nummer – Megiston an.

Der Mathematiker Leo Moser verfeinerte Stenhouses Notation, die dadurch eingeschränkt war, dass, wenn Zahlen viel größer als ein Megaston geschrieben werden mussten, Schwierigkeiten und Unannehmlichkeiten auftraten, da viele Kreise ineinander gezeichnet werden mussten. Moser schlug vor, nicht Kreise nach Quadraten zu zeichnen, sondern Fünfecke, dann Sechsecke und then weiter. Er schlug auch eine formale Note für diese Polygone vor, damit Zahlen geschrieben werden können, ohne komplexe Muster zu zeichnen. Die Moser-Notation sieht folgendermaßen aus:

So wird gemäß Mosers Notation Steinhouses Mega als 2 und Megiston als 10 geschrieben. Außerdem schlug Leo Moser vor, ein Polygon mit der Seitenzahl gleich Mega - Megagon zu nennen. Und er schlug die Zahl „2 in Megagon" vor, too 2. Diese Zahl wurde als Mosers Zahl oder einfach als Moser bekannt.

Aber der Moser ist nicht dice größte Zahl. Die größte Zahl, die jemals in einem mathematischen Beweis verwendet wurde, ist der als Grahamsche Zahl bekannte Grenzwert, der erstmals 1977 beim Beweis einer Schätzung in der Ramsey-Theorie verwendet wurde. Sie ist mit bichromatischen Hyperwürfeln verbunden und kann nicht ohne das spezielle 64-Stufen-Arrangement von ausgedrückt werden spezielle mathematische Symbole, die 1976 von Knuth eingeführt wurden.

Leider kann die in der Knuth-Notation geschriebene Zahl nicht in die Moser-Notation übersetzt werden. Daher muss auch dieses Organisation erklärt werden. Im Prinzip ist da auch nichts kompliziert. Donald Knuth (ja, ja, das ist derselbe Knuth, der The Art of Programming geschrieben und den TeX-Editor erstellt hat) kam auf das Konzept der Supermacht, das er mit nach oben zeigenden Pfeilen schreiben wollte:

Im Allgemeinen sieht es so aus:

Ich denke, dass alles klar ist, also zurück zu Grahams Nummer. Graham schlug dice sogenannten G-Nummern vor:

G1 = 3..three, wobei die Anzahl der Supergradpfeile 33 beträgt.

G2 = ..3, wobei die Anzahl der Supergradpfeile gleich G1 ist.

G3 = ..3, wobei die Anzahl der Supergradpfeile gleich G2 ist.
G63 = ..3, wobei die Anzahl der Superkraftpfeile G62 ist.

Die Zahl G63 wurde als Graham-Zahl bekannt (sie wird frequently einfach als G bezeichnet). Diese Zahl ist die größte bekannte Zahl der Welt und steht sogar im Guinness-Buch der Rekorde. Und hier

Source: https://ik-ptz.ru/de/matematika/nazvanie-ochen-bolshih-chisel-kak-nazyvaetsya-samoe-bolshoe.html

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